Lineare Gleichung Schritt für Schritt online lösen — kostenlos. Gib ax + b = c ein, sieh die Lösung in vier Schritten mit Probe und Erklärung. Klasse 7 Algebra.
Kurze Antwort
Wie löst man eine lineare Gleichung Schritt für Schritt?
Eine lineare Gleichung der Form ax + b = c löst du in zwei Äquivalenzumformungen: 1) Subtrahiere b auf beiden Seiten, sodass nur ax übrig bleibt. 2) Teile beide Seiten durch a. Die Lösungsformel lautet x = (c − b) ÷ a, gültig für a ≠ 0. Mache anschließend die Probe, indem du x in die Ausgangsgleichung einsetzt — stimmen linke und rechte Seite überein, ist die Lösung korrekt. Beispiel: 3x + 7 = 22 → 3x = 15 → x = 5.
Rechner
Gleichung eingeben — Lösung mit Rechenweg
probier:
Erlaubt: x links oder rechts, mehrere x-Terme, Komma oder Punkt als Dezimal, Vorzeichen.
Lineare Gleichung lösen — Anleitung in 4 Schritten
Mit Äquivalenzumformungen am Beispiel 3x + 7 = 22 (Klasse 7 Mathematik)
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Schritt 1 von 4
Gleichung aufschreiben und Koeffizienten erkennen
Notiere die Gleichung sauber: 3x + 7 = 22. Bestimme die Werte a = 3 (Koeffizient vor x), b = 7 (Konstante auf der linken Seite) und c = 22 (rechte Seite). Diese Form heißt Normalform der linearen Gleichung.
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Schritt 2 von 4
Konstante durch Subtraktion isolieren
Wende eine Äquivalenzumformung an und subtrahiere 7 auf beiden Seiten der Gleichung: 3x + 7 − 7 = 22 − 7. Das ergibt 3x = 15. Wichtig: Was du links machst, musst du auch rechts machen — sonst bleibt die Gleichung nicht gleichwertig.
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Schritt 3 von 4
Durch den Koeffizienten dividieren
Teile beide Seiten durch den Koeffizienten 3: 3x ÷ 3 = 15 ÷ 3. Damit isolierst du die Variable x vollständig. Ergebnis: x = 5.
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Schritt 4 von 4
Probe durchführen
Setze x = 5 in die ursprüngliche Gleichung ein: 3·5 + 7 = 15 + 7 = 22 ✓. Linke und rechte Seite stimmen überein — die Lösungsmenge ist L = {5}.
Beispiele
Lineare Gleichungen — gelöste Beispiele
Typische Aufgabentypen aus dem Mathe-Unterricht der Klassen 7–10 mit vollständigem Lösungsweg
2x − 5 = 9
| + 5 → 2x = 14
| ÷ 2 → x = 7
x = 7
−4x + 12 = 0
| − 12 → −4x = −12
| ÷ (−4) → x = 3
x = 3
5x + 3 = 18
| − 3 → 5x = 15
| ÷ 5 → x = 3
x = 3
0,5x + 1,5 = 4
| − 1,5 → 0,5x = 2,5
| ÷ 0,5 → x = 5
x = 5
2x + 3 = x + 7
| − x → x + 3 = 7
| − 3 → x = 4
x = 4
−x + 8 = 3
| − 8 → −x = −5
| ·(−1) → x = 5
x = 5
Theorie
Was ist eine lineare Gleichung? — Definition und Bedeutung
Eine lineare Gleichung ist eine Bestimmungsgleichung mit genau einer Variablen, in der die Variable ausschließlich in der ersten Potenz vorkommt — also ohne x², √x oder 1/x. Die allgemeine Form (Normalform) lautet ax + b = c, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und der Koeffizient a ≠ 0 sein muss. Solange a ≠ 0 gilt, besitzt jede lineare Gleichung genau eine eindeutige Lösung. Lineare Gleichungen sind ein zentrales Thema im Mathematikunterricht ab Klasse 7 und bilden die Grundlage für lineare Gleichungssysteme, lineare Funktionen (y = mx + b), quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen. Im Alltag begegnen dir lineare Zusammenhänge bei Preisberechnungen, Mischverhältnissen, gleichförmiger Bewegung (Strecke = Geschwindigkeit · Zeit), Tarifvergleichen und vielen weiteren Anwendungen.
Fallen
Häufige Fehler beim Lösen linearer Gleichungen
Vorzeichenfehler beim Umformen
Bei der Äquivalenzumformung dreht sich das Vorzeichen, sobald ein Term auf die andere Seite gebracht wird: aus +7 wird −7. Schreibe jeden Schritt explizit am Rand auf (z. B. „| − 7"), damit du den Überblick behältst.
Division durch eine negative Zahl
Bei Gleichungen bleibt das Gleichheitszeichen unverändert. Achtung: Nur bei Ungleichungen kehrt sich das Vergleichszeichen um, wenn du durch eine negative Zahl teilst.
Probe vergessen oder falsch durchgeführt
Setze die gefundene Lösung immer in die Ausgangsgleichung ein — nicht in eine umgeformte Zwischenstufe.
Klammern nicht aufgelöst
Bei Aufgaben wie 2(x + 3) = 10 musst du zuerst die Klammer auflösen: 2x + 6 = 10. Erst dann beginnt die übliche Umformung.
Brüche und Dezimalzahlen ignoriert
Multipliziere Bruchgleichungen zuerst mit dem Hauptnenner, um Brüche zu eliminieren. Dezimalzahlen kannst du wie ganze Zahlen behandeln.
FAQ
Häufig gestellte Fragen zu linearen Gleichungen
Glossar
Glossar — wichtige Begriffe einfach erklärt
Variable
Ein Platzhalter für eine unbekannte Zahl, meistens als x, y oder z bezeichnet.
Koeffizient
Die Zahl, mit der die Variable multipliziert wird. In 3x ist 3 der Koeffizient.
Konstante
Eine Zahl ohne Variable. In 3x + 7 ist 7 die Konstante (auch Absolutglied genannt).
Lineare Gleichung
Gleichung der Form ax + b = c mit a ≠ 0. Die Variable tritt nur in erster Potenz auf.
Äquivalenzumformung
Umformung, bei der die Lösungsmenge erhalten bleibt.
Lösung
Der Wert von x, der die Gleichung zu einer wahren Aussage macht.
Lösungsmenge L
Die Menge aller x-Werte, die die Gleichung erfüllen.
Probe
Einsetzen der berechneten Lösung in die Ausgangsgleichung zur Kontrolle.